01 Aug

Ex-falso

Wednesday August 01st 2007, 10:25 am
Tags: Flugzeug, Logik, Physik, Rätsel, Sueddeutsche

Ein Flugzeug steht auf einem 3000 Meter langen Laufband, so groß und breit wie eine Startbahn.
Eine Geschwindigkeits-Steuerung setzt das Laufband automatisch in Bewegung sobald die Räder des Flugzeugs anfangen zu drehen. Und zwar mit der gleichen Geschwindigkeit, nur in die entgegengesetzte Richtung.
Das Flugzeug versucht zu starten. Was passiert? Wird es abheben? (Das Abhebedebakel - Süddeutsche)

Die Leute schlagen sich verbal die Köpfe ein und jeder meint, Recht zu haben. Und das ist sogar tatsächlich so, zumindest unter gewissen vernünftigen Annahmen über die Fragestellung. Deshalb:

Das Problem lässt sich erst mal reduzieren auf folgende Anordnung:

B sind die Bandrollen mit Radius $r_B$ , F ist ein Flugzeugrad mit Radius $r_F$ (alles z.B. in Metern). P ist der Berührungspunkt. Im Folgenden wird angenommen, dass an Punkt P kein “Schlupf” vorhanden ist, das heißt die Oberfläche vom Rad und vom Band “rutschen” nicht. Außerdem habe das Rad keine Reibung und keinerlei Masse (und damit Trägheit).

Beide Räder drehen sich mit Geschwindigkeit $w_B$ bzw. $w_F$ (in Umdrehungen pro Sekunde mal $2\pi$ ). Ein Punkt auf dem Flugzeugrad (bzw. dem Rad im Laufband) bewegt sich demnach mit $v_F = r_F \cdot w_F$ (bzw. $v_B = r_B \cdot w_B$ ) relativ zum Radmittelpunkt. Das Laufband ist stationär (also ist $v_B$ auch die Geschwindigkeit zum Bezugssystem), das Flugzeugrad mag sich bewegen mit $v_{\rm Flug}$ , also ist $Formula does not parse: v_F’ = v_{\rm Flug} + v_F$ die Bewegung des Berührpunkts auf dem Flugzeugrad relativ zum Bezugsystem.

Aus dem Fehlen des Schlupfs folgt: $Formula does not parse: v_F’ = v_B$ .

Nun gibt es zwei Interpretation der Aufgabe:

(i) Die Winkelgeschwindigkeit $w_F$ und $w_B$ sind gleich (d.h. die Laufbandrollen drehen sich so schnell wie die Flugzeugräder)
(ii) Die “lineare” Geschwindigkeiten $v_F$ und $v_B$ sind gleich.

Zu (ii): Aus $Formula does not parse: v_F’=v_B$ folgt damit $Formula does not parse: v_F’ = v_F + v_{\rm Flug} = v_B + v_{\rm Flug} = v_B$ . Es kann also nur $v_{\rm Flug}=0$ gelten. Dies steht aber im Widerspruch zur Mechanik: Wenn die Triebwerke Schub produzieren, muss $v_{\rm Flug}$ zunehmen.

Zu (i): Aus $Formula does not parse: v_F’=v_B$ folgt $Formula does not parse: v_F’ = v_F + v_{\rm Flug} = w_F \cdot r_F + v_{\rm Flug} = w_B \cdot r_F + v_{\rm Flug} = v_B = w_B \cdot r_B$ . Also $w_B \cdot r_F + v_{\rm Flug} = w_B \cdot r_B$ .

Wieder gibt es zwei Fälle:

a) Für $r_F=r_B$ ergibt sich wieder der Widerspruch zur Mechanik, dass $v_{\rm Flug}=0$ gelten soll.
b) Für $r_F \neq r_B$ kann das Band die richtige Drehgeschwindigkeit $w_B$ “finden”, damit sich $v_{\rm Flug}$ entsprechend der Mechanik verhält. $w_B$ ist dabei praktisch eine freie Variable, die nur durch die physikalen Gesetze festgelegt wird.

(i a) und (ii) führen also auf Widersprüche, sprich auf eine Inkonsistenz der Voraussetzungen und damit auf das logische Prinzip Ex-falso. Alle Argumentationen, die von diesen beiden Fällen ausgehen, sind korrekt, auch wenn diese $1=2$ , Schwarz=Weiß oder “Flugzeug startet” oder “Flugzeug steht” beweisen. Jeder hat Recht!

Im Fall von (i b) gibt es eine Drehgeschwindigkeit des Bandes, so dass die Mechanik keinen Widerspruch erzeugt. Wenn das Denkmodell “Flugzeug auf Laufband” also widerspruchlos ist, dann muss dies der Fall sein. Dann startet das Flugzeug, weil durch die Räder und das Laufband keine Gegenkräfte erzeugt werden, die den Schub ausgleichen würden. Das Band hat damit keinen Einfluss auf die Beschleunigung des Flugzeugs, passt sich nur entsprechend der obigen Gleichungen an $v_{\rm Flug}$ an.

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